Question

18．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a，AD=3a，且∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，PA⊥平面ABCD，PA=a，則二面角P-CD-A的大小為arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖過點A作AE⊥CD于E，連接PE，由∠PEA是二面角P-CD-A的平面角或補角，由Rt△DAE中，AD=3a，∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則AE=AD•sin∠ADE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，即可求得二面角P-CD-A的大�。�

解答 解：如圖過點A作AE⊥CD于E，連接PE，
由PA⊥平面ABCD，則PE⊥CD，
故∠PEA是二面角P-CD-A的平面角或補角，
在Rt△DAE中，AD=3a，∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
AE=AD•sin∠ADE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
在Rt△PAE中，tan∠PEA=$\frac{PA}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角P-CD-A的大小arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案為：arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查二面角的求法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．