Question

【題目】已知數列{an}滿足：an（n∈N*）．若正整數k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，則k＝（ ）

A.16B.17C.18D.19

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6時，a1a2…an﹣1＝1+an，將n換為n+1，兩式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，結合已知條件，即可得到所求值．

解：an（n∈N*），

即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，

n≥6時，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，

兩式相除可得an，

則an2＝an+1﹣an+1，n≥6，

由a62＝a7﹣a6+1，

a72＝a8﹣a7+1，

…，

ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，

可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5

a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，

且a1a2…ak＝1+ak+1，

正整數k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，

則ak+1+k﹣16＝ak+1+1，

則k＝17，

故選：B．