Question

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點分別為棱的中點，求證：平面；

(2) 請根據下列要求設計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，

 

并寫出拼接后的長方體的表面積（不必計算過程）.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）證法一：以點為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，依題意得、

     .                     

    ∴ ， ， .

 

     ∴.

     ∴.                  

     平面，平面，.

     ∴平面.                          

證法二：連結，

底面，平面，

∴.                                            

，分別為棱的中點，

∴.

，

∴Rt△ Rt△.

∴.

,

∴.

∴.                                          

∴

，

∴平面.

∴.                                             

，

∴平面.                                      

平面，

∴.                                         

同理可證.                                     

，

∴平面.                                        

（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為長方形如圖①所示，），此時所拼接成的長方體的表面積為16. 

 

 

 

                                                            

 

                              圖甲                            圖①

切割拼接方法二：如圖乙所示，設的中點分別為，以四點所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為正方形），此時所拼接成的長方體的表面積為.           

 

 

 

 

 

                                                          

                              圖乙                          圖②