Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

6

，D是棱CC₁的中點．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求平面A₁B₁A與平面AB₁C₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由已知，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，證出B₁C₁⊥AA₁C₁C，從而得B₁C₁⊥A₁D；在矩形AA₁C₁C中，利用△ACC₁～△DC₁A₁，證出A₁D⊥AC₁，由線面垂直的判定定理即可證明：A₁D⊥平面AB₁C_1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎上，設垂足（即為A₁D與AC₁的交點）為H，過A₁作AB₁的垂線，垂足為G，連GH，有三垂線定理逆定理，可證∠A₁GH為二面角A₁-AB₁-C₁的平面角，再解三角形A₁GH即可獲解．

解答：解：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC．∴BC⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁D，而BC∥B₁C₁，則B₁C₁⊥A₁D．
在Rt△ACC₁與Rt△DC₁A₁中，

AC

CC1

=

DC1

AC1

=

2

2

，∴△ACC₁～△DC₁A₁，
∴∠AC₁C=∠DA₁C₁．∴∠AC₁C+∠C₁DA₁=90°．即A₁D⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，∴A₁D⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）如圖，設A₁D∩AC₁=H，過A₁作AB₁的垂線，垂足為G，連GH，
∵A₁D⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁GH∴∠A₁GH為二面角A₁-AB₁-C₁的平面角．
在Rt△AA₁B₁中，AA1=

6

，A₁B₁=2，∴AB1=

10

，∴A1G=

AA1•A1B1

AB1

=

2 15

5

；
在Rt△AA₁C₁中，AA1=

6

，A1C1=

3

，∴AC₁=3，∴A1H=

AA1•A1C1

AC1

=

2

．
∴在Rt△A₁GH中，sin∠A1GH=

A1H

A1G

=

5 2

2 15

=

30

6

，cos∠A1GH=

6

6

．
故銳二面角A₁-AB₁-C₁的余弦值為

6

6

．
即平面A₁B₁A與平面AB₁C₁所成的銳二面角的余弦值為

6

6

．

點評：本題主要考查二面角的計算，直線和平面垂直的性質、判定，考查學生空間想象能力，計算能力、轉化能力．空間問題平面化，是解決空間問題最核心的思想方法．．