Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BC=4，AC=3，AB=5．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AC⊥BC₁，只需證明AC⊥平面BC₁，利用線面垂直的判定，只需證明AC垂直于平面中的兩條相交直線；
（Ⅱ）過C作CD⊥AB，連接B₁D，則可得∠CB₁D是B₁C與平面ABB₁A₁所成角，求出CD、B₁C，即可求得B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CC₁⊥AC
∵BC=4，AC=3，AB=5，∴AC⊥BC
∵CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BC₁，
∵BC₁?平面BC₁，∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）解：過C作CD⊥AB，連接B₁D，則

∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面A₁B，∴平面ABC⊥平面A₁B
∵CD⊥AB，∴CD⊥平面A₁B
∴∠CB₁D是B₁C與平面ABB₁A₁所成角
∵BC=4，AC=3，AB=5，∴3×4=5×CD，∴CD=

12

5

∵AA₁=BC=4，∴B₁C=4

2

∴sin∠CB₁D=

CD

B1C

=

12 5

4 2

=

3 2

10

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質，正確作出線面角．