Question

f（x）=x²-4ax，當a＜

1

2

時，對1＜x₁＜x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，則實數a的取值范圍使

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：本題可以利用二次函數的解析式，將|f（x₁）-f（x₂）|化成關于x₁，x₂的關系式，從而將|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，化簡成a＜

1

4

(x1+x2-2)或a＞

1

4

(x1+x2+2)，再通1＜x₁＜x₂，求出相應式子的最值，結合條件a＜

1

2

，得到本題結論．

解答： 解：∵f（x）=x²-4ax，
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|x 12-4ax₁-x 22+4ax₂|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-4a）|，
∵1＜x₁＜x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，
∴|x₁+x₂-4a|＞2，
∴a＜

1

4

(x1+x2-2)或a＞

1

4

(x1+x2+2)，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

1

4

(x1+x2-2)＞0，

1

4

(x1+x2+2)≥1
∵a＜

1

2

，
∴a≤0．
故答案為：a≤0．

點評：本題考查了二次函數與基本不等式關系，本題難度不大，屬于基礎題．