Question

1．已知函數f（x）為定義在R上的偶函數，當x≥0時，有f（x+1）=-f（x），且當x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1），給出下列命題：
①直線y=x與函數f（x）的圖象有兩個交點；
②函數f（x）的值域為（-1，1）；
③函數f（x）在定義域上是周期為2的函數；
④f（2016）+f（-2017）=0．
其中正確的有①②④．

Answer 1

分析 根據“當x≥0時，有f（x+1）=-f（x）”和賦值法，求出當x≥0時f（x）的周期，設x∈[1，2）則x-1∈[0，1），根據條件和恒等式求出f（x）在[1，2）上的解析式，由周期性、偶函數的性質畫出函數的圖象，根據圖象對命題逐一判斷即可．

解答 解：∵當x≥0時，有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）（x≥0），則當x≥0時，f（x）的周期為T=2．
設x∈[1，2），則x-1∈[0，1），
∵當x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1），∴f（x-1）=log₂x，
∵當x≥0時，有f（x+1）=-f（x），∴f（x）=-f（x-1）=-log₂x，x∈[1，2），
又f（x）為定義在R上的偶函數，所以函數f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：
①、直線y=x與函數f（x）的圖象有1個交點，故①不正確；
②、函數f（x）的值域為（-1，1），故②正確；
③、函數f（x）在定義域上不是周期函數，故③不正確；
④、f（2016）+f（-2017）=0+0=0，故④正確；
所以正確的命題序號有：①②④
故答案為：①②④．

點評 本題考查了抽象函數的圖象與性質，以及偶函數的性質的應用，利用已知的恒等式和賦值法求函數的周期、解析式是解題的關鍵，考查了數形結合思想和轉化思想，分析問題、解決問題的能力．