Question

（2012•江西）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=kcⁿ-k（其中c，k為常數(shù)），且a₂=4，a₆=8a₃．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)前n項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式；再結(jié)合a₂=4，a₆=8a₃求出c，k，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）直接利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（1）由S_n=kcⁿ-k，得a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1；   （n≥2），
由a₂=4，a₆=8a₃．得kc（c-1）=4，kc⁵（c-1）=8kc²（c-1），解得

c=2 k=2

；
所以a₁=s₁=2；
a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1=2ⁿ，（n≥2），
于是a_n=2ⁿ．
（2）：∵na_n=n•2ⁿ；
∴T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ；
  2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹；
∴-T_n=2+2²+2³…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹；
即：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．?dāng)?shù)列求和的錯(cuò)位相減法適用于一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組合而成的新數(shù)列．?dāng)?shù)列求和的錯(cuò)位相減法也是這幾年高考的常考點(diǎn)．