Question

（2012•江西）已知三點O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足|

MA

+

MB

|=

MA

•(

OA

+

OB

)+2
（1）求曲線C的方程；
（2）點Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）是曲線C上動點，曲線C在點Q處的切線為l，點P的坐標是（0，-1），l與PA，PB分別交于點D，E，求△QAB與△PDE的面積之比．

Answer 1

分析：（1）先求出

MA

、

MA

+

MB

的坐標，由此求得|

MA

+

MB

|和

MA

•(

OA

+

OB

)+2的值，由題意可得

(-2x)2+(2-2y)2

=4-2y，化簡可得所求．
（2）根據直線PA，PB的方程以及曲線C在點Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）處的切線方程，求出F點的坐標，D、E兩點的橫坐標，可得S_△PDE和S_△QAB的值，從而求得△QAB與△PDE的面積之比．

解答：解：（1）由

MA

=（-2-x，1-y），

MB

=（2-x，1-y）可得

MA

+

MB

=（-2x，2-2y），
∴|

MA

+

MB

|=

(-2x)2+(2-2y)2

，

MA

•(

OA

+

OB

)+2=（-2-x，1-y）•（0，2）+2=4-2y．
由題意可得

(-2x)2+(2-2y)2

=4-2y，化簡可得 x² +2y-3=0．
（2）直線PA，PB的方程分別為 y=-x-1、y=x-1，
曲線C在點Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）處的切線方程為y=

x0

2

x-

x02

4

，
且與y軸的交點F（0，-

x02

4

）．
由

y=-x-1 y= x0 2 x- x02 4

求得x_D=

x0-2

2

，由

y=x-1 y= x0 2 x- x02 4

求得x_E=

x0+2

2

．
故x_E-x_D=2，故|FP|=1-

x02

4

．
故S_△PDE=

1

2

|PF|•|x_E-x_D|=

1

2

（1-

x02

4

）•2=

4-x02

4

，
而S_△QAB=

1

2

×4×（1-

x02

4

）=

4-x02

2

，
∴

S△QAB

S△PDE

=2，即△QAB與△PDE的面積之比等于2．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程的應用，利用導數求曲線上某點的切線方程，求得F點的坐標，D、E兩點的橫坐標，是解題的關鍵，屬于中檔題．