Question

（本小題滿分14分）設函數.

（1）若函數在處有極值，求函數的最大值；

（2）①是否存在實數，使得關于的不等式在上恒成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，說明理由；

②證明：不等式.

 

Answer 1

（1）最大值為；（2）①存在，的取值范圍是；②祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知得：，且函數f（x）在x=0處有極值，得a=1，從而求出函數的表達式，找出單調區間求出最值；

（2）由已知得：再對b分情況討論：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1綜合得出b的取值范圍是x∈[1，+∞）；

（3）由前兩問綜合得出．

試題解析：（1）由已知得：，且函數在處有極值

∴，即

∴ ∴,

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

∴函數的最大值為

（2）①由已知得：

（i）若，則時，

∴在上為減函數，

∴在上恒成立；

（ii）若，則時，

∴在上為增函數，

∴，不能使在上恒成立；----6分

（iii）若，則時，，

當時，，∴在上為增函數，

此時，

∴不能使在上恒成立；

綜上所述，的取值范圍是

②由以上得：,取得：

令，

則，.

因此；即：.

又

故

 

綜上所述：不等式成立

考點：1. 利用導數研究函數的單調性；2. 利用導數求閉區間上函數的最值．