Question

【題目】已知幾何體如圖所示，其中兩兩互相垂直且，且.

（1）求此幾何體的體積；

（2）求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；(2).

【解析】

(1) 首先證明平面,再證明底面為梯形CEDB為梯形，利用四棱錐的體積公式可求出體積；

(2) 在線段EC上取點F,使得EF=BD=1，連接BF,AF,構造平行四邊形EFBD，在中，運用余弦定理即可求得答案.

（1）∵兩兩互相垂直，∴,又∵平面,

∴平面,又,故底面為梯形，所以幾何體為四棱錐，體積為

（2）

在線段EC上取點F,使得EF=BD=1，連接BF,AF,則四邊形EFBD為平行四邊形，DE//BF,則∠FBA即為異面直線與所成角，，所以,,,

在中，由余弦定理可得,即,解得，即異面直線與所成角的余弦值為.