Question

設函數f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出f（x）的導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；
（2）令h（x）=x（e^x-1-ax），令m（x）=（e^x-1-ax），x∈[0，+∞），由此利用導數判斷函數m（x）的單調性，即能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=xe^x，的導數為f′（x）=e^x+xe^x=（x+1）•e^x，
令f′（x）＞0，解得，x＞-1；令f′（x）＜0，解得，x＜-1．
則f（x）的單調增區間為（-1，+∞）；單調減區間為（-∞，-1）．
（2）h（x）=f（x）-g（x）═x（e^x-1-ax），
令m（x）=e^x-1-ax，x∈[0，+∞），
m'（x）=e^x-a，m（0）=0
當a≤1時，m'（x）=e^x-a＞0，m（x）在[0，+∞）上為增函數，
而m（0）=0，從而當x≥0時，h（x）≥0恒成立．
當a＞1時，令m'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當x∈（0，lna）時，m'（x）＜0，
m（x）在（0，lna）上是減函數，
而m（0）=0，從而當x∈（0，lna）時，m（x）＜0，即h（x）＜0
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式恒成立問題轉化為求函數單調性的運用，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．