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已知a為實數，函數f(x)=x2-2alnx.

（Ⅰ）求f(x)在[1，+∞上的最小值g(a);

（Ⅱ）若a>0,試證明“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要條件是“a=”.

解：（Ⅰ）

   （1）若上連續,

上是單調遞增函數.

   （2）若

當

上是單調遞減函數；

當上是單調遞增函數.

則時，取得最小值.

   （Ⅱ）記

   （1）充分性：若

當在（0，1）上是單調遞減函數；

當上是單調遞增函數.

時取等號.

有唯一解.

   （2）必要性：若方程

當上是單調遞減函數；

       當上是單調遞增函數.

       ∴當x=x2時，

      

        

      

       設函數

       至多有一解.

      

       由（1）、（2）知，“方程有唯一解”的充要條件是“”.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

15、已知a為實數，函數f（x）=ex（x2-ax+a）．
（Ⅰ）求f′（0）的值；
（Ⅱ）若a＞2，求函數f（x）的單調區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a為實數，函數f（x）=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a．
（1）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（2）若f'（-1）=0，對任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a為實數，函數f(x)=
1
1-ax
，g（x）=（1+ax）ex，記F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函數f（x）在點（0，1）處的切線方程為x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函數g（x）的最小值；
（3）當a=-
1
2
時，解不等式F（x）＜1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a為實數，函數f（x）=（x2+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函數y=f（x）在[-
32
，1]上的最大值和最小值；
（2）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•湖北模擬）已知a為實數，函數f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)．
（I）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）當a=
9
4
時，對任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，試求m的取值范圍．

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