Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F位于直線x+y-1=0上．
（1）求拋物線方程；
（2）過拋物線的焦點F作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A，B兩點，求AB的中點C到拋物線準線的距離．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先求出焦點進而求出P，從而求出拋物線的方程；
（2）先根據拋物線的焦點坐標和直線的傾斜角可表示出直線AB的方程，然后聯立直線方程與拋物線方程可得到兩根之和與兩根之積，進而可得到中點C的橫坐標，求出AB的中點C到拋物線準線的距離．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F位于直線x+y-1=0上．
所以焦點是（1，0），
故

p

2

=1，
∴p=2，
所以拋物線的方程為：y²=4x；
（2）拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，
直線AB的方程為y=x-1，
設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
將y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
則x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中點C的橫坐標為3．
所以中點C到準線的距離為3+1=4．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題和兩點間的距離公式．直線與圓錐曲線的綜合問題一直都是高考的重點，要著重復習．