Question

5．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別是棱AA₁，CC₁的中點，P是側面BCC₁B₁內一點，若A₁P∥平面BEF，則線段A₁P長度的取值范圍是[$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 取BB₁的中點M，連結A₁C₁，A₁M，C₁M，推導出平面BEF∥平面A₁MC₁，由此得到線段A₁P長度的最大值為A₁C₁=$\sqrt{2}$，最小值為點A₁到線段C₁M的距離d，從而能求出線段A₁P長度的取值范圍．

解答 解：取BB₁的中點M，連結A₁C₁，A₁M，C₁M，
∵在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別是棱AA₁，CC₁的中點，
∴BE∥A₁M，BF∥C₁M，
∵BE∩BF=B，A₁M∩C₁M=M，BE，BF?平面BEF，A₁M，C₁M?平面A₁MC₁，
∴平面BEF∥平面A₁MC₁，
∵P是側面BCC₁B₁內一點，A₁P∥平面BEF，∴P∈線段C₁M，
∵A₁C₁=$\sqrt{2}$，A₁M=C₁M=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴線段A₁P長度的最大值為A₁C₁=$\sqrt{2}$，最小值為點A₁到線段C₁M的距離d，
以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，
則A₁（1，0，1），M（1，1，$\frac{1}{2}$），C₁=（0，1，1），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
∴點A₁到線段C₁M的距離：
d=|$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$|$\sqrt{1-[cos＜\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}，\overrightarrow{{C}_{1}M}＞]^{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴線段A₁P長度的取值范圍是[$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\sqrt{2}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬中檔題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找P點位置．