Question

函數f（x）的反函數f-1(x)=

1

2

arcsinx+arctanx，則f（x）的定義域為（　　）

• A．（-π，π）
• B．(-

  3π

  4

  ，

  3π

  4

  )
• C．(-

  3π

  2

  ，

  3π

  2

  )
• D．[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：根據互為反函數的兩個函數的定義域和值域對調這一性質可知f（x）的定義域即為f（x）的反函數f-1(x)=

1

2

arcsinx+arctanx的值域故只需求出其值域即可．

解答：解：∵y=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]與y=arcsinx，x∈[-1，1]互為反函數
∴y=

1

2

arcsinx的值域為[-

π

2

，

π

2

]
又∵y=tanx，x∈（-

π

2

，

π

2

）與y=arctanx，x∈R互為反函數
∴y=arctanx的值域為（-

π

2

，

π

2

）
∴f-1(x)=

1

2

arcsinx+arctanx的值域為[-

π

2

，

π

2

]∪（-

π

2

，

π

2

）=[-

π

2

，

π

2

]
∴f（x）的定義域為[-

π

2

，

π

2

]
故選D

點評：本題主要考察了求反函數的定義域．解題的關鍵是利用反函數的性質：互為反函數的兩個函數的定義域和值域對調！