Question

已知函數f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值．

Answer 1

（1）a＝4，b＝4（2）單調增區間為(－∞，－2)，；
單調減區間為，4－4e^－2.

(1)f′(x)＝e^x(ax＋b)＋ae^x－2x－4
＝e^x(ax＋a＋b)－2x－4，
∵y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4，
∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，
∴a＝4，b＝4.
(2)由(1)知f′(x)＝4e^x(x＋2)－2(x＋2)
＝2(x＋2)(2e^x－1)，
令f′(x)＝0得x₁＝－2，x₂＝ln，
列表：

x	(－∞，－2)	－2		ln
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

∴y＝f(x)的單調增區間為(－∞，－2)，；
單調減區間為.
f(x)_極大值＝f(－2)＝4－4e^－2.