Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，則棱長為3，底面邊長為2，E是棱BC的中點．
（Ⅰ）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求二面角C₁-DE-C的大小；
（Ⅲ）在側棱BB₁上是否存在點P，使得CP⊥平面C₁DE？證明你的結論．

Answer 1

（I）證明：連接CD₁，與C₁D相交于O，連接EO．
∵CDD₁C₁是矩形，
∴O是CD₁的中點，
又E是BC的中點，
∴EO∥BD₁．（2分）
又BD₁?平面C₁DE，EO?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．（4分）

（II）過點C作CH⊥DE于H，連接C₁H．
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，
∴C₁H⊥DE，
∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角．（7分）
根據平面幾何知識，易得H（0.8，1.6，0）
．∴

HC

=(-0.8，0.4，0)，

HC1

=(-0.8，0.4，3)，
∵cosC1HC=COS＜

HC

，

HC1

＞=

HC • HC1

| HC |•| HC1 |

=

2

7

（9分）
∴∠C1HC=arccos

2

7

，
∴二面角C₁-DE-C的大小為ArCCOs

2

7

．（10分）

（III）在側棱BB₁上不存在點P，使得CP⊥平面C₁DE（11分）
證明如下：
假設CP⊥平面C₁DE，則必有CP⊥DE．
設P（2，2，a），其中0≤a≤3，
則

CP

=(2，0，a)，

DE

=(1，2，0)，
∵

CP

•

DE

=2≠0，這顯然與CP⊥DE矛盾．
∴假設CP⊥平面C₁DE不成立，
即在側棱BB₁上不存在點P，使得CP⊥平面C₁DE．（14分）