Question

設f(x)=+xlnx，g(x)=x³-x²-3．
（1）當a=2時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g(x₁)- g(x₂)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（3）如果對任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）
所以，曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=-x+3；
（2）

由下表知，，

∴，
所以滿足條件的最大整數M=4；
（3）
等價于：在區間上，函數f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，
由（2）知，在區間上，g(x)的最大值為，，
下證當a≥1時，在區間上，函數f(x)≥1恒成立，
當a≥1且時，，
記，，。
當時，；
當時，，
所以，函數在區間上遞減，在區間上遞增，，即h(x)≥1， 所以，當a≥1且時，f(x)≥1成立，
即對任意，都有f(s)≥g(t)。