Question

【題目】設命題p：x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0，命題q：x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0
（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，求實數m的取值范圍
（2）若p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命題p：x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0為真命題，

則△=4（m﹣3）2﹣4≥0，

解得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）；

若命題q：x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0

則△=4（m+5）2﹣4（3m+19）＜0，

解得：m∈（﹣6，﹣1），

若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，

則命題p，q一真一假，

當p真q假時，m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

即m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞），

當p假q真時，m∈（2，4），且m∈（﹣6，﹣1），此時不存在滿足條件的m值；

綜上可得：m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞）

（2）解：若p∧q為假命題，則命題p，q至少有一個假命題，

若命題p，q全為假，則m∈（2，4），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

即m∈（2，4），

結合（1）的結論可得：

此時m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

【解析】分別求出命題p，q為真時實數m的取值范圍．（1）若p∨q為真命題，且p∧q為假命題，則命題p，q一真一假，進而可得滿足條件的a的取值范圍．（2）若p∧q為假命題，則命題p，q至少有一個假命題，進而可得滿足條件的a的取值范圍．
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．