Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，且f（-3）=-2，當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則給出下列命題：
①函數y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=2；      
②f（2011）=-2；
③函數y=f（x）在[-6，-4]上為減函數；      
④方程f（x）=0 在[-6，6]上有4個根，
上述命題中的所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由函數y=f（x）是R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，我們易得函數在區間[0，2]單調遞減，由此我們畫出函數的簡圖，然后對題目中的四個結論逐一進行分析，即可得到答案．

解答： 解：∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當x=-2，可得f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x），函數周期T=4，
又∵函數y=f（x）是R上的偶函數
∴f（-2）=f（2）=0，
又由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函數在區間[0，2]單調遞減
故函數f（x）的簡圖如下圖所示：

由圖可知：①x=2為圖象的一條對稱軸，①正確，
②f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=-2，②正確，
③函數y=f（x）在[-6，-4]上為增函數，③錯誤，
④方程f（x）=0 在[-6，6]上有3個根，④錯誤，
故答案：①②．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象，函數的奇偶性，函數的周期性，函數的零點，解答的關鍵是根據已知，判斷函數的性質，并畫出函數的草圖，結合草圖分析題目中相關結論的正誤．