Question

設0＜a＜1，f（x）=log_a（a^2x-2a^x-2），解關于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析：令t=a^x，有t＞0，則y=log_a（t²+2t-2），若使f（x）＜0，由對數函數的性質，可轉化為t²+2t-2＞1，解可得t的取值范圍，由指數函數的性質，分析可得答案．

解答：解：令t=a^x，有t＞0，則y=log_a（t²-2t-2），
若使f（x）＜0，即log_a（t²-2t-2）＜0，
由對數函數的性質，0＜a＜1，y=log_ax是減函數，
故有t²-2t-2＞1，
解可得，t＞3或t＜-1，
又因為t=a^x，有t＞0，
故其解為t＞3，
即a^x＞3，又有0＜a＜1，
由指數函數的圖象，可得不等式f（x）＜0的解集為（-∞，log_a³）．

點評：本題考查指數、對數函數的運算與性質，解題時，要聯想這兩種函數的圖象，特別是圖象上的特殊點，同時考查了換元法的應用，屬于中檔題．