Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求常數k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范圍；
（3）若f(1)=

8

3

，且函數g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），在上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）為奇函數，根據f（0）=0，可求出常數k的值；
（2）根據f（x）為奇函數，可將f（x+2）+f（3-2x）＞0化為f（x+2）＞f（2x-3），進而根據函數的單調性，轉化為具體不等式進行解答
（3）根據f(1)=

8

3

，求出a值，進而t=3^x-3^-x，根據二次函數在定區間上的最值問題，分類討論，可得m的值．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
∴k=1
經驗證可知k=1時符合題意．…（4分）
（2）因f（x）是奇函數，
故f（x+2）+f（3-2x）＞0可化為f（x+2）＞f（2x-3）．…（6分）
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是單調減函數，…（8分）
∴x+2＜2x-3，
∴x＞5
∴滿足為f（x+2）+f（3-2x）＞0的x的取值范圍為（5，+∞）…（10分）
（3）∵f（1）=

8

3

，
∴a-

1

a

=

8

3

，即3a²-8a-3=0，
∴a=3（或a=-

1

3

舍去）．…（12分）
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）+2=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

8

3

．
∴（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²．
當m≥

8

3

時，2-m²=-2，m=2，2＜

8

3

，故m=2應舍去；…（14分）
當m＜

8

3

時，(

8

3

)2-2m×

8

3

+2=-2，m=

25

12

＜

8

3

．
∴m=

25

12

．…（16分）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數的單調性的性質，函數與方程的綜合應用，是函數圖象和性質及方程的綜合應用，難度中檔．