Question

6．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R
（1）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），利用函數的單調性來求f（x）的最小值．
（2）求出函數的導數，分母為正，分子結合二次函數的性質，找出函數值為正值、負值的區間，得出函數f（x）的單調區間．

解答 解：（1）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=1時，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
∴當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，
∴f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為 f（2）=-2ln2；
（2）∵f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+（a-2）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
∴①a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
②當-2＜a≤0時，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
   x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
  x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
③當a=-2時，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
④當a＜-2時，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
  x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
  x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數．

點評 本題考查函數與導數，利用導數研究函數的單調性屬于中檔、常規題．涉及到了分類討論的思想方法．