Question

16．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）設AA₁=AC=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，求異面直線AB₁與CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結AC₁交A₁C于O，連結DO，則DO∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）連結AB₁，取BB₁中點M，連結DM、CM，則DM∥AB₁，從而∠CDM就是所求異面直線所成角（或補角），由此能求出異面直線AB₁與CD所成角的大小．

解答 證明：（1）連結AC₁交A₁C于O，連結DO，
∴DO為△ABC₁的中位線，DO∥BC₁，
又BC₁?面A₁DC，DO?面A₁DC，
故BC₁∥平面A₁CD．
解：（2）連結AB₁，取BB₁中點M，連結DM、CM，
則DM是△ABB₁的中位線，∴DM∥AB₁，
∴∠CDM就是所求異面直線所成角（或補角），
∵AA₁=AC=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，
∴CM=$\sqrt{5}$，DM=$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴DM²+CD²=CM²，滿足勾股定理，∴∠CDM=90°，
故異面直線AB₁與CD所成角為90°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．