Question

拋物線y²=4x上的點P到拋物線的準線距離為d₁，到直線3x-4y+9=0的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設點P坐標為（x，y），由拋物線性質可知d₁=1+x．又根據點到直線的距離公式可得d₂=

|3x-8 x +9|

9+16

，進而可得到d₁+d₂表達式，再根據x的范圍確定d₁+d₂的范圍，求得最小值．

解答：解：y²=4x  p=2 準線為x=-1；設點P坐標為（x，y），到拋物線準線的距離是d₁=1+x．
d₂=

|3x-8 x +9|

9+16

∴d₁+d₂=

3x-8 x +9+5x

5

令

x

=t，上式得：

8t2-8t+14

5

=

[8(t- 1 2 )2+12]

5

但t=

1

2

，即x=

1

4

時，d1+d2有最小值

12

5

故答案為：

12

5

點評：本題主要考查了拋物線的性質及拋物線與直線的關系．要注意利用好拋物線的定義．