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7.已知函數f(x)是R上的奇函數,且滿足f(x+2)=-f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=x,則方程f(x)=$\frac{2x-8}{x+1}$在(0,+∞)解的個數是(  )
A.3B.4C.5D.6

分析 確定f(x)是以4為周期的周期函數,關于直線x=1對稱,作出相應函數的圖象,即可得出結論.

解答 解:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是以4為周期的周期函數.
∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),
∴函數關于直線x=1對稱,
在(0,+∞)上函數y=f(x)與y=$\frac{2x-8}{x+1}$的圖象如圖所示,交點有4個,
∴方程f(x)=$\frac{2x-8}{x+1}$在(0,+∞)解的個數是4,
故選B.

點評 本題考查函數的奇偶性、對稱性、周期性,考查數形結合的數學思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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