Question

13．已知函數f（x）=$\sqrt{{x^2}+8x+16}$+$\sqrt{{x^2}-10x+25}$．
（1）求不等式f（x）≥f（-4）的解集；
（2）設函數g（x）=k（x-5），k∈R，若f（x）＞g（x）對任意x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）=$\sqrt{{x^2}+8x+16}$+$\sqrt{{x^2}-10x+25}$化簡為f（x）=|x+4|+|x-5|，不等式f（x）≥f（-4）?|x+4|+|x-5|≥9，分類討論，去掉絕對值符號，分別解之即可求得不等式f（x）≥f（-4）的解集；
（2）f（x）＞g（x）對任意x∈R都成立，即f（x）=|x+4|+|x-5|的圖象恒在g（x）=k（x-5）圖象的上方，在同一坐標系中作出兩函數的圖象，數形結合即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{{x^2}+8x+16}+\sqrt{{x^2}-10x+25}=|x+4|+|x-5|$
∴f（x）≥f（-4）即|x+4|+|x-5|≥9（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤-4\\-x-4-x+5≥9\end{array}\right.$，解得x≤-4；或$\left\{\begin{array}{l}-4＜x≤5\\ x+4-x+5≥9\end{array}\right.$，解得-4＜x≤5；或$\left\{\begin{array}{l}x＞5\\ x+4+x-5≥9\end{array}\right.$，解得x＞5
所以f（x）≥f（4）的解集為R．（5分）
（2）f（x）＞g（x）即f（x）=|x+4|+|x-5|的圖象恒在g（x）=k（x-5）圖象的上方，
由f（x）=|x+4|+|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x≤-4}\\{9，-4＜x≤5}\\{2x-1，x＞5}\end{array}\right.$，g（x）=k（x-5）圖象為恒過定點P（5，0）且斜率k變化的一條直線，作函數y=f（x），y=g（x）圖象如圖，其中k_PB=2，A（-4，9），
∴k_PA=-1，

由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴實數k的取值范圍為-1＜k≤2．（10分）

點評 本題考查函數恒成立問題，突出考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想、等價轉化思想與數形結合思想的綜合運用，屬于難題．