Question

對于函數f（x）=mx-

x2+2x+n

（x∈[-2，+∞）），若存在閉區間[a，b]⊆[-2，+∞）（a＜b），使得對任意x∈[a，b]，恒有f（x）=c（c為實常數），則實數|mn|的值為

1

．

Answer 1

分析：f（x）=c，即mx-

x2+2x+n

=c，兩邊平方整理為關于x的二次方程，由f（x）=c恒成立可得方程組，解出即可．

解答：解：f（x）=c，即mx-

x2+2x+n

=c，
所以(mx-c)2=(

x2+2x+n

)2，整理得（m²-1）x²-（2mc+2）x+c²-n=0，
因為對任意x∈[a，b]，恒有f（x）=c，
所以

m2-1=0 2mc+2=0 c2-n=0

，解得

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

，
故|mn|=1，
故答案為：1．

點評：本題考查函數單調性，考查學生分析問題解決問題的能力．