Question

已知函數f（x）滿足f(x)=ln

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定義域；判斷f（x）的奇偶性及單調性并給予證明；
（2）對于函數f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0．求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0得函數f（x）的定義域；由f（-x）=-f（x）可判斷其奇偶性；利用單調性的定義即可證明其單調性；
（2）利用f（x）在x∈（-1，1）上的奇偶性將f（1-m）+f（1-m²）＜0轉化為f（1-m）＜f（m²-1），再利用單調性將
函數符號脫掉即可．

解答：解（1）由

1+x

1-x

＞0得函數f（x）的定義域為（-1，1）…（2分）
∵f(-x)=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-f(x)，所以f（x）為奇函數…（4分）
任意x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=ln(

1+x1

1+x2

×

1-x2

1-x1

)-------------（6分）
∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，
∴0＜1+x₁＜1+x₂，0＜1-x₂＜1-x₁------------（7分）
∴0＜

1+x1

1+x2

×

1-x2

1-x1

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）為（-1，1）上的遞增函數-------------------------------------------------------（9分）
（2）由（1）可知原不等式變形為f（1-m）＜f（m²-1），
又f（x）為（-1，1）上的遞增函數，
∴原不等式滿足-1＜1-m＜m²-1＜1，---------------------------------------（11分）
∴m取值范圍是(1，

2

)-----------（13分）

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，著重考查函數奇偶性的定義與單調性的定義的靈活應用，屬于中檔題．