Question

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）為“M函數”．給出下列四個函數：
①f（x）=x+1     ②f（x）=-x²+1
③f（x）=2^x-2    ④f（x）=

x

-

1

8

其中所有“M函數”的序號是（　　）

A．①③

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：根據定義域求出值域，然后尋找其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]的a與b的值，即可判定．

解答：解：（1）①f（x）=x+1當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到滿足條件的a與b，根據定義可知f（x）=x+1不是“M函數”
②f（x）=-x²+1，當x∈[0，1]時，f（x）的值域是[0，1]，根據定義可知f（x）=-x²+1是“M函數”；
③f（x）=2^x-2，由于它在R上是增函數，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[2^a-2，2^b-2]，
由2^a-2=a，2^b-2=b，得2^a=a+2，2^b=b+2，由圖象可知，函數y=2^x與y=x+2有兩個交點，
根據定義可知f（x）=2^x-2是“M函數”；
④f（x）=

x

-

1

8

，由于它在R上是增函數，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[

a

-

1

8

，

b

-

1

8

]，
由a=

a

-

1

8

，b=

b

-

1

8

，得

a

=a+

1

8

，

b

=b+

1

8

，由圖象可知，函數y=

x

與y=x+

1

8

有兩個交點，
根據定義可知f（x）=

x

-

1

8

是“M函數”；
故所有“M函數”的序號是：②③④．
故選D．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，解題的關鍵是將原問題轉化為方程的解，進而轉化為函數圖象的交點問題，利用數形結合的思想方法加以解決，屬于中檔題．