Question

某知名保健品企業新研發了一種健康飲品，已知每天生產該種飲品最多不超過40千瓶，最少1千瓶，經檢測在生產過程中該飲品的正品率P與每日生產產品瓶數x（x∈N^*，單位：千瓶）間的關系為P=

4200-x2

4500

，每生產一瓶飲品盈利4元，每出現一瓶次品虧損2元（注：正品率=飲品的正品瓶數÷飲品總瓶數×100%）
（Ⅰ）將日利潤y（元）表示成日產量x的函數；
（Ⅱ）求該種飲品日利潤的最大值．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由題意得，y=[x•

4200-x2

4500

4-2x（1-

4200-x2

4500

）]×1000化簡即可；
（Ⅱ）求導y′=

2

4500

×1000×（-3）（x²-2700），從而確定在1≤x≤40上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，
y=[x•

4200-x2

4500

4-2x（1-

4200-x2

4500

）]×1000
=2000x

8100-x2

4500

；（x∈N^*，x≤40）
（Ⅱ）∵y′=

2

4500

×1000×（-3）（x²-2700），
∵1≤x≤40，
故y=2x

8100-x2

4500

在定義域上是增函數，
故當x=40時，日利潤最大，
即該種飲品日利潤的最大值為2×40×

13

9

×1000=

1040000

9

（元）．

點評：本題考查了實際問題轉化為數學問題能力及導數的應用，屬于中檔題．