Question

定義一個對應法則f：．現有點A′（1，3）與點B′（3，1），點M′是線段A′B′上一動點，按定義的對應法則f：M′→M．當點M′在線段A′B′上從點A′開始運動到點B′結束時，點M′的對應點M所經過的路線長度為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題以定義的一種新的變換為入手點，主要考查直線與圓的有關知識，解答本題的關鍵是弄懂定義的本質，由定義的新法則f：．點A′（1，3）與點B′（3，1），點M′是線段A′B′上一動點，而不難知道由變換得到點的軌跡是圓的一部分．然后根據弧長公式，易得答案．
解答：解：由題意知A′B′的方程為：x+y=4，
設M′（x，y），則M（x²，y²），
從而有x²+y²=4，
易知，
，
不難得出，
，
則，
點M′的對應點M所經過的路線長度為．
點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．弄懂定義的本質是解題關鍵；針對本題，通過閱讀題意，不難知道由變換得到點的軌跡是圓的一部分．