Question

定義一個對應法則f：P（m，n）→P（

m

，

n

），（m≥0，n≥0）．現有點A（2，6）與點B（6，2），點M是線段AB上一動點，按定義的對應法則f：M→M′．當點M在線段AB上從點A開始運動到點B結束時，點M的對應點M′所經過的路線長度為

 

．

Answer 1

分析：本題以定義的一種新的變換為入手點，主要考查直線與圓的有關知識，解答本題的關鍵是弄懂定義的本質，由定義的新法則f：P（m，n）→P（

m

，

n

）（m≥0，n≥0）．點A（2，6）與點B（6，2），點M是線段AB上一動點，而不難知道由變換得到點的軌跡是圓的一部分．然后根據弧長公式，易得答案．

解答：解：由題意知AB的方程為：x+y=8，
設M（x，y），則M′（x²，y²），從而有x²+y²=8，
易知 A（2，6）→A′（

2

，

6

），B（6，2）→B′（

6

，

2

），
不難得出∠A′OX=

π

3

，∠B′OX=

π

6

，則∠A′OB′=

π

6

，點M的對應點M′所經過的路線長度為

2 π

3

；
故答案為

2 π

3

．

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．弄懂定義的本質是解題關鍵；針對本題，通過閱讀題意，不難知道由變換得到點的軌跡是圓的一部分．