Question

【題目】已知函數f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當P=1時，f（x）≤kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）證明：1n（n+1）＜1+ …+ （n∈N+）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= ，

當p≥1時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當p≤0時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

當0＜p＜1時，令f′（x）=0，解得x= ．

則當x 時，f′（x）＞0；x 時，f′（x）＜0，

故f（x）在（0， ）上單調遞增，在 上單調遞減

（2）解：∵x＞0，

∴當p=1時，f（x）≤kx恒成立1+lnx≤kxk≥ ，

令h（x）= ，則k≥h（x）max，

∵h′（x）= =0，得x=1，

且當x∈（0，1），h′（x）＞0；當x∈（1，+∞），h′（x）＜0；

所以h（x）在0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

所以h（x）max=h（1）=1，

故k≥1．

（3）證明：由（2）知，當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，

∴令x= ，則 ，即 ，

∴ln2﹣ln1＜1， ，

相加得1n（n+1）＜1+ …+

【解析】（1）利用導數來討論函數的單調性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數 的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．（2）當P=1時，f（x）≤kx恒成立，分離參數等價于k≥ ，利用導數求函數h（x）= 的最大值即可求得實數k的取值范圍；（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，令x= ，則得到 ，利用導數的運算法則進行化簡，然后再相加，即可證得結論．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．