Question

【題目】已知 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，離心率為 ， ， 分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)， ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過 （0,2）作直線 與 交于 兩點(diǎn)，求三角形 面積的最大值（ 是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由題知 ，
∴ ，
∴ ∴ ，①
∵ ，∴ ，∴ ，②
①②聯(lián)立解得 ，
∴橢圓E的方程為 .
（Ⅱ）設(shè) ，顯然直線AB斜率存在，設(shè)其方程為 ，代入 整理得 ，
則 ，即 ，
，



= .
∴O到L的距離 ，
所以三角形AOB面積 =
設(shè) ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即t=4，即 ，即 時(shí)取等號(hào)，
所以△AOB面積的最大值為 .
【解析】（Ⅰ）根據(jù) ，結(jié)合a,b,c的關(guān)系即可求出橢圓的方程。
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線，橢圓方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，在由點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，即可算出三角形面積。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．