Question

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(Ⅰ)求的極值；

(Ⅱ) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ) ，

．     

當(dāng)時(shí)，．  

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減； 

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即

．     

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．

，                             

由，得． 

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．

令，則

， 

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．   

從而，即恒成立．            

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號) ．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．                 

后面解題步驟同解法一．