Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分別為斜邊AB上的高和中線，且∠BCD與∠ACD之比為3：1，求證CD=DE．

Answer 1

分析：欲求證CD=DE，在直角三角形CDE中，只須證明其中一個(gè)銳角為45度即可，利用CD、CE分別為斜邊AB上的高和中線可得：“∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB”，再利用∠BCD與∠ACD之比為3：1即可求得∠ECD的大小，從而解決問題．

解答：證明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜邊AB上的中線
∴CE=EB
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=

1

2

∠ACB
=

1

2

×90°=45°，
△EDC為等腰直角三角形
∴CE=DE．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直角三角形中邊角關(guān)系、三角形高和中線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．