Question

【題目】如圖1，在長方形中，為的中點，為線段上一動點．現將沿折起，形成四棱錐.

圖1 圖2 圖3

（Ⅰ）若與重合，且(如圖2).

(ⅰ)證明：平面；

(ⅱ)求二面角的余弦值.

（Ⅱ）若不與重合，且平面平面 (如圖3)，設，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(ⅰ)證明見解析，(ⅱ)；（Ⅱ）.

【解析】

①先證明平面得，再由，即可證明結論

②先作出二面角的平面角，然后解三角形

由立體圖形還原到平面圖，設，運用勾股定理求出的表達式，然后求出范圍

(ⅰ)由與重合，則有,

因為，平面,,

,所以平面.

(ⅱ)由平面，平面，故平面平面，

作于,作于，連接.

因為，平面平面，為交線，故平面，

故，又，故平面,所以為所求角.

易求得在中，可求得，故,

.

（Ⅱ） 如圖，作于,作于，連接.

由平面平面且可得平面,故,由可得平面,故在平面圖形中，三點共線且.

設，由，故,

，所以， .