Question

【題目】數列的前項和為，若存在正整數，且，使得，同時成立，則稱數列為“數列”.

（1）若首項為，公差為的等差數列是“數列”，求的值；

（2）已知數列為等比數列，公比為.

①若數列為“數列”，，求的值；

②若數列為“數列”，，求證：為奇數，為偶數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析

【解析】

（1）根據題意，以及“數列”的概念，得到，求解，即可得出結果；

（2）①根據數列為“數列”，得到，再由，即可得出結果；

②根據數列為“數列”，得到，令，分別討論：為偶數；為偶數，為奇數；為奇數三種情況，結合導數的方法進行處理，即可得出結果.

解：（1）若首項為，公差為的等差數列是“數列”，

由題意可得，，解得：；

（2）①若數列為“數列”，則，

又，

所以或；

②若數列為“數列”，則，

令，

若為偶數，則，不符合題意；

若為偶數，為奇數，不符題意；

若為奇數，，

則，

令，，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

∴

即單調增，與題意不符；

綜上為奇數，為偶數.