Question

3．已知函數$f（x）=cos（2x+\frac{π}{6}）+cos（2x-\frac{π}{6}）+2sinxcosx+1$
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-m在區間$[0，\frac{π}{3}]$上有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用查三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性和單調性，求得函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間．
（2）由題意利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的值域，根據f（x）的圖象和直線y=m在區間$[0，\frac{π}{3}]$上有兩個不同的交點，結合f（x）的圖象求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x+sin2x+1$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，
故函數f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}（k∈Z）$，
∴函數f（x）單調遞增區間為$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤π$，∴$0≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，∴1≤f（x）≤3，
由函數g（x）=f（x）-m在區間$[0，\frac{π}{3}]$上有兩個不同的零點，
可知f（x）=m在區間$[0，\frac{π}{3}]$內有兩個相異的實根，
即y=f（x）圖象與y=m的圖象有兩個不同的交點．
在區間$[0，\frac{π}{3}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]，
結合圖象可知，當$\sqrt{3}+1≤m＜3$時，兩圖象有兩個不同的交點，
∴實數m的取值范圍是$[\sqrt{3}+1，3）$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性和單調性，正弦函數的定義域和值域，正弦函數的圖象，屬于中檔題．