Question

在直線x-y+9=0上取一點M，過點M且與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1共焦點作橢圓C，問點M在何處時，橢圓C長軸長最短？并求出橢圓方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設要求的橢圓C標準方程為

x2

m+1

+

y2

m

=1(m＞0)，與橢圓的方程聯立化為（2m+1）x²+18（m+1）x+（m+1）（81-m）=0，當直線與橢圓相切時，橢圓C長軸長最短．因此△=0，解出即可得出．

解答： 解：設要求的橢圓C標準方程為

x2

m+1

+

y2

m

=1(m＞0)，
聯立

x-y+9=0 x2 m+1 + y2 m =1

，化為（2m+1）x²+18（m+1）x+（m+1）（81-m）=0，
當直線與橢圓相切時，橢圓C長軸長最短．
令△=18²（m+1）²-4×（81-m）（m+1）（2m+1）=0，
解得m=40．
∴要求的橢圓C的標準方程為

x2

41

+

y2

40

=1．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相切問題轉化為方程聯立與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．