Question

一個扇形的周長為20，若使其面積最大，則它的圓心角應(yīng)取

2rad

．

Answer 1

分析：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，根據(jù)扇形周長為20，結(jié)合扇形面積公式化簡得：S=r（10-r），利用基本不等式可得面積最大時弧長等于半徑的2倍，從而得到扇形的圓心角．

解答：解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l
∴

l+2r=20 S= 1 2 lr

，可得S=r（10-r），其中0＜r＜10
∵r（10-r）≤[

r+(10-r)

2

]2=25，當(dāng)且僅當(dāng)r=10-r，即r=5時等號成立
∴當(dāng)r=5時，面積S有最大值25
此時，弧長為l=20-2r=10，所以扇形的圓心角θ=

l

r

=2rad
故答案為：2rad

點(diǎn)評：本題給出扇形的周長，求扇形面積取最大值時扇形圓心角的大小，著重考查了扇形面積公式、弧長公式和基本不等式求函數(shù)最值等知識，屬于基礎(chǔ)題．