Question

20．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有面均是邊長為1的菱形，∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，則對角線AC₁的長為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知得∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²，由此能求出對角線AC₁的長．

解答 解：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長均為1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²
=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BC}$²+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{C{C}_{1}}$+2$\overrightarrow{C{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$
=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°
=4，
∴對角線AC₁的長為2，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)間距離的求法，考查向量法的合理運(yùn)用，正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵．