Question

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過E的右焦點且垂直于橢圓長軸的直線與橢圓交于A，B兩點，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點P（0，$\sqrt{3}$）的動直線l與橢圓E交于的兩點M，N（不是的橢圓頂點），是否存在實數λ，使$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率求得a²=2b²，橢圓的通徑丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，即可求得a和b的值，求得橢圓的標準方程；
（2）設直線l的方程，y=kx+$\sqrt{3}$，代入橢圓方程，利用韋達定理定理及向量數量積的坐標運算，表示出$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$，則當λ=-2時，-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$=-3，則存在實數λ，使$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$為定值

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a²=2b²，①
則丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，則b²=a，②
解得：a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+$\sqrt{3}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4$\sqrt{3}$kx+2=0，△=（4$\sqrt{3}$k）²-4×（1+2k²）×2＞0，解得：k²＞$\frac{1}{4}$，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{3}k}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，從而，$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-$\sqrt{3}$）（y₂-$\sqrt{3}$）]，
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
=（1+λ）（1+k²）×$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$+$\sqrt{3}$k×（-$\frac{4\sqrt{3}k}{2{k}^{2}+1}$）+3，
=$\frac{-2{k}^{2}（1-λ）+2λ+5}{1+2{k}^{2}}$，
=-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$，
∴當λ=-2時，-（1-λ）+$\frac{3λ+6}{1+2{k}^{2}}$=-3，此時$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=-3，
故存在常數λ=-2，使得$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$為定值-3．

點評 本題考查橢圓標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．