Question

【題目】已知函數f（x）＝2cos2x+ax2．

（1）當a＝1時，求f（x）的導函數在上的零點個數；

（2）若關于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）零點個數為3；（2）[1，+∞）．

【解析】

（1）易得＝2（x﹣sin2x），再用導數法研究（0，）上的零點情況，然后結合的奇偶性求解.

（2）令sinx＝t∈[﹣1，1]，轉化為不等式cos2t≤a（1﹣t2）恒成立，再t＝±1和﹣1＜t＜1分類討論求解.

（1）易知＝2（x﹣sin2x），顯然＝0，

所以x＝0是f′（x）的一個零點，

令g（x）＝x﹣sin2x（0≤x），則＝1﹣2cos2x＝0時，x，

所以g（x）在（0，）單調遞減，在（，）單調遞增，

則g（x）的最小值為g（）0，

又g（0）＝0，且g（）0，

所以g（x）在（0，）上存在唯一零點x0∈（，），

則＝2g（x）在（0，）上亦存在唯一零點，

因為是奇函數，所以在（，0）上也存在唯一零點﹣x0，

綜上所述，當a＝1時，f（x）的導函數在[，]上的零點個數為3；

（2）不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）恒成立，即不等式cos（2sinx）≤acos2x恒成立，

令sinx＝t∈[﹣1，1]，則等價于不等式cos2t≤a（1﹣t2）…（1）恒成立，

①若t2＝1，即t＝±1時，不等式（1）顯然成立，此時a∈R，

②若﹣1＜t＜1時，不等式（1）等價于a（2）

設h（t）（﹣1＜t＜1），

當0≤t＜1時，，

令φ（t）＝tcos2t﹣（1﹣t2）sin2t（0≤t＜1，

則＝（2t2﹣1）cos2t（0≤t＜1），

已知＝0，＝0，且，

則φ（t）在（0，），（，1）上單調遞減，在（，）上單調地增，

又φ（0）＝0，φ（）＝﹣1＜0，所以φ（t）＜0在（0，1）上恒成立，

所以h（t）在[0，1）上單調遞減，則h（t）≤h（0）＝1，

顯然函數h（t）為偶函數，故函數h（t）在[﹣1，1]上的最大值為1，

因此a≥1，

綜上所述，滿足題意的實數a的取值范圍為[1，+∞）．