Question

【題目】已知點F1、F2分別為雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點M（x0，y0）（x0＜0）為C的漸近線與圓x2+y2＝a2的一個交點，O為坐標原點，若直線F1M與C的右支交于點N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，則雙曲線C的離心率為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意畫出圖形，可得直線F1M與圓O相切于點M，且|MF1|＝b，再由雙曲線的定義隱含條件列式求解雙曲線的離心率．

如圖所示：

由題意可得，直線F1M與圓O相切于點M，且|MF1|＝b，

由雙曲線的定義可知，2a＝|NF1|﹣|NF2|＝|MN|+|MF1|﹣|NF2|，

∵|MN|＝|NF2|+|OF2|，且|OF2|＝c，

∴2a＝b+c，即b＝2a﹣c，

∴b2＝（2a﹣c）2＝c2﹣4ac+4a2，

又b2＝c2﹣a2，

聯立解得4c＝5a，即e．

故答案為：．