Question

【題目】在等腰中， ，腰長為， 、分別是邊、的中點(diǎn)，將沿翻折，得到四棱錐，且為棱中點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）取中點(diǎn)，連結(jié)、，因?yàn)樵诘妊?/span>中，得到，

根據(jù)圖象的翻折得到，進(jìn)而證得平面，再根據(jù)是平行四邊形，得，即可證明平面；（II）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，和平面B的一個(gè)方向法向量，根據(jù)法向量所成的角，即可得到結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)、，

因?yàn)樵诘妊?/span>中， ， ， 、分別是邊、的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)榉�折�?/span>，所以翻折后，且

為等腰直角三角形，所以，

因?yàn)榉�折�?/span>， ，且， 平面，因?yàn)?/span>，

平面， ，又， 平面，

又， ，且， 是平行四邊形， ，

平面； …（3分）

（Ⅱ）以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

則， ， ， ， ，

設(shè)，則，

設(shè)平面的法向量為，則由，且，得，

取，則，

要使平面，則須，

所以，即線段上存在一點(diǎn)，使得平面，

…（9分）

設(shè)平面BAE的法向量為，則由，且，得，取，則， ，

因?yàn)槎�面�?/span>為銳二面角，所以其余弦值為，

即線段上存在一點(diǎn)（點(diǎn)是線段上的靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)），

使得平面，此時(shí)二面角的余弦值為…（12分）