Question

【題目】過橢圓上一點作兩條直線，與橢圓另交于，點，設它們的斜率分別為，．

（1）若，，求的面積；

（2）若，，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1） 先通過點斜式分別寫出直線，的方程，再通過曲直聯立求出點和的坐標，

從而求得直線的方程以及線段的長，然后利用點到直線的距離公式求出的高，從而求得其面積.

（2）設的中點為點，然后分類討論，①當直線過原點時，可得知直線的方程為；②當直線不過原點時，結合平面幾何知識可得點，，三點共線，然后設直線的方程為，，，，，，，再通過曲直聯立、韋達定理和點坐標公式，得到，，所以直線斜率為，所以直線的斜率與直線斜率不相等，即點，，三點不共線，與前面的結論矛盾，最后得到直線的方程為．

解：（1）因為，，

所以直線，方程分別為，，

由，得：，

由此解得，，所以，

同理可得：，

所以直線的方程為，

所以，

（2）設的中點為點，

①當直線過原點時，點與點重合，

因為，所以，

所以直線的方程為，

②當直線不過原點時．設，，，，，

在中，因為，所以，

在中，因為，所以，

所以點，，三點共線，

因為直線的斜率為，所以直線的斜率為，

設直線的方程為，

由，得：，

由韋達定理知，，，

所以，，

所以直線斜率為，所以直線的斜率與直線斜率不相等，

點，，三點不共線（與上面的結論矛盾），

綜上：所求直線的方程為.