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2.已知等差數列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn,且a3=5,S3=9.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設等比數列{bn}(n∈N*),{bn}的前n項和為Tn,若q>0且b3=a5,T3=13,求Tn
(3)設bn=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,求數列{bn}的前n項和Sn

分析 (1)由a3=5,S3=9聯立方程求出數列的首項和公差,然后求數列{an}的通項公式;
(2)根據T3=13,b3=a5,求出公比和首項,求出Tn即可;
(3)求出an和bn,從而求出Sn即可.

解答 解:(1)$\left\{\begin{array}{l}{a_3}={a_1}+2d=5\\{S_3}=3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$,
∴an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)由上可得,b3=a5=9,T3=13,所以公比q=3,
從而,b1=1,
所以${T_n}=\frac{{{b_1}(1-{q^n})}}{1-q}$=$\frac{{1×(1-{3^n})}}{1-3}=\frac{1}{2}({3^n}-1)$.
(3)由(1)知,an=2n-1.
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{(2n-1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})}]$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$=$\frac{n}{2n+1}$.

點評 本題主要考查等比數列和等差數列的通項公式以及前n項和公式,要求熟練掌握相應的公式.

練習冊系列答案
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